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编辑点评:

梅加强编写的《流形与几何初步》一书可作为综合性大学、师范院校数学系高年级本科生和研究生选修课教材,也可供数学、物理工作者参考。 精品下载站提供了免费的pdf电子版下载,需要的自取。

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内容简介

本书是微分流形和现代几何的一本入门教材。本书从微分流形的定义出发,介绍了现代几何学研究中的各种基本概念和技巧。前两章为基础内容,主要介绍流形上的微积分并证明Stokes积分公式。后三章分别从几何、拓扑和整体分析三个方面阐述现代几何中的一些重大成果,如 Gauss-Bonnet-Chern公式、Hodge 定理以及 Atiyah-Singer 指标公式等。

目录大全

前言

第1章 微分流形

1.1 流形的定义和例子

1.2子流形

1.3单位分解

1.4切空间和切映射

1.5 Sard定理及应用

1.6 Lie群初步

第2章 流形上的微积分

2.1切丛和切向量场

2.2可积性定理及应用

2.3 向量丛和纤维丛

2.4 张量丛

2.5微分形式

2.6 带边流形

2.7 Stokes积分公式

第3章 流形的几何

3.1 度量回顾

3.2 联络

3.3 曲率

3.4联络和曲率的计算

3.4.1 活动标架法

3.4.2正规坐标

3.5子流形几何

3.5.1第二基本形式

3.5.2 活动标架法

3.5.3 极小子流形

3.5.4黎曼淹没

3.6 齐性空间

3.6.1 Lie群和不变度量

3.6.2齐性空间

3.6.3 对称空间

3.7主丛及其联络

……

第4章 流形的上同调

第5章 流形上的椭圆算子

参考文献

索引

前言阅读

几何学在古代被称为测地之学,几何学的研究对象从平面上的简单规则图形一直演化到空间中较为复杂的曲线和曲面.Gauss关于曲面的研究揭示了曲率是一个内蕴的几何量.

Riemann是第一个将曲面的概念从欧氏空间中抽象出来并推广到高维情形的数学家.Rie mann在他1851年的博士论文和1854年的著名的就职演讲中,提出了流形的概念.Riemann用这个概念来描述那些满足一定约束条件的变量所能取到的值所构成的集合,比如,欧氏空间中的单位球面是流形,其中约束条件是向量的长度为1,在物理学中,流形的概念出现待也很自然.在一定的约束条件下某个物理量的所有可能的状态构成的集合就是流形.

1900年前后,Poincaré创立了代数拓扑学,他研究了三维和高维流形的许多具体例子1912年,Weyl在其关于黎曼曲面的著作中给出了抽象的二维流形的定义.Weyl将流形视为在局部上与欧氏空间同胚的点集,这样,高维抽象流形的概念就呼之欲出了.1936年前后,Whitney详细地研究了微分流形的基本性质;1944年,他证明了抽象的微分流形可以嵌入到欧氏空间中,于是我们又可以从抽象的空间回到现实的几何世界.

以流形为研究对象的几何学常称为现代几何学,20世纪以来,现代几何学的发展取得了辉煌的成就,这些成就部分地反映在本书中,全书共五章,第1章介绍流形的基本概念;第2章在流形上引入微积分;后三章分别从几何、拓扑和整体分析的角度进一步讨论一些重要的结果,下面我们对各章主要内容做一些简要的说明:在第1章中,我们首先从Weyl-Whitney的观点出发引入微分流形的概念,接着再利用反函数定理(隐函数定理)研究流形之间映射的局部性态,利用隐函数定理,我们可以将抽象流形视为欧氏空间中多元函数的广义图像,然后我们介绍单位分解这个常用工具,它可以用来将局部信息在流形上拼成整体结果,为了利用微积分的思想研究流形,我们引入了切空间和切映射的概念,在微积分中,我们知道导数恒为零的函数必为常值函数,在微分流形上,Sard定理是此结果的推广,我们讨论了Sard定理和它的若干应用,最后,利用前面的这些概念和工具,我们还介绍了Lie群的初步知识.

第2章主要研究流形上的微积分,我们在这一章中引入了微外流形上的几个关键性的概念:首先是切丛的概念,它是切向量和切空间的整体化;接着引入了分布的概念并讨论可积分布,利用Frobenius可积性定理我们进一步探讨了Lie群;然后我们将切丛推广为一般的向量丛,再引入张量丛和张量场的概念张量和微分形式是微分流形上重要的基础性概念我们既用局部坐标的观点,也用整体的不变观点阐述了这些概念,最后我们介绍带有边界的流形并证明著名的Stokes积分公式,这是流形上的微积分基本公式.

从第3章开始我们正式研究流形上的几何学,首先是几何学的三个基本概念:黎曼度量、联络和曲率,引入基本概念以后我们专门以一节的内容介绍基本的计算方法,包括活动标架法和正规坐标系中的计算方法,利用这些方法,我们研究了子流形的几何,这样,现代几何和古典几何就合在一起了,接着我们讨论了Lie群和齐性空间的几何,从不同的角度介绍了主丛和主丛上的联络,最后,我们给出陈省身先生关于Gaus-Bonnet-Chern公式的内蕴证明,从证明方法中很自然地引出关于示性类的Chern-Weil理论.

在第4章中我们围绕de Rham上同调群介绍流形上的拓扑学,我们首先计算了欧氏空间和球面的de Rham上同调群,利用所得结果引入映射度的概念,作为应用,我们证明了Brouwer不动点定理和Borsuk-Ulam定理,接着我们讨论de Rham上同调群的一般计算方法,用到的主要工具是Mayer-Vietoris正合序列,利用这些工具,我们在一类流形上获得了Poincaré对偶定理,并给出Poincare-Hopf指标公式的证明,最后我们还介绍了重要的Hodge理论和微分几何中常用的Bochner技巧,为了与前后内容相衔接,我们还引入了Clifford丛和Dirac算子的概念

第5章的主要目的是给出Hodge定理的证明,并讨论非平凡的Atiyah-Singer指标公式首先我们在流形上建立了Sobolev空间,讨论了Dirac算子的解析性质,利用Sobolev空间的基本理论和Dirac算子的椭圆性质我们给出了Hodge定理的证明,接着我们介绍Dirad算子的热方程和波方程,研究热核的基本性质,重要的是热核可以用来表示Dirac算子的指标,最后,利用热核的渐近展开我们给出了Dirac算子的指标公式,同时也介绍了一般的Atiyah-Singer指标公式.

作者多年来在南京大学数学系为高年级本科生和研究生讲授流形与几何的基础课程,本书是根据作者授课的讲义修改而成,历届同学也对本书提出了建议,作者在此表示感谢,本书部分内容曾经北京大学数学科学学院戴波副教授试用,作者对他在试用后提出的宝贵意见和建议致以衷心的谢意

本书的出版得到了南京大学数学系国家基础科学人才培养基金(批准号:J1210049)和国家自然科学基金面上项目(项目批准号:11171143)的资助,特此致谢.

梅加强

2012年8月于南京

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